نصائح مفيدة

كيفية حل المعادلات مع وحدة نمطية: القواعد الأساسية

Pin
Send
Share
Send
Send


يعرف كل معلم تقريبًا المشكلات التي يواجهها الطلاب في الوحدة التعليمية. هذه واحدة من أصعب المواد التي يواجهها الطلاب في الامتحانات.

يرجع اختيار الموضوع إلى حقيقة أن المشكلات المرتبطة بالقيم المطلقة غالبًا ما توجد في الأولمبياد والامتحانات الرياضية ، وثانياً ، يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع ليس فقط في أقسام مختلفة من دورة الرياضيات المدرسية ، ولكن أيضًا في الرياضيات العليا . لذلك في التحليل الرياضي ، يتم استخدام مفهوم القيمة المطلقة لعدد في تحديد المفاهيم الأساسية: الحد ، وتحد من وظيفة ، وغيرها. في نظرية الحسابات التقريبية ، يتم استخدام مفهوم الخطأ المطلق. في الميكانيكا ، في الهندسة ، يدرس مفهوم المتجه ، واحدة من خصائصه هي طوله (وحدة المتجه).
على الرغم من حقيقة أن موضوع "وحدة الأرقام" يمتد خلال كامل فترة المدرسة والرياضيات العليا ، إلا أنه لم يتم تخصيص سوى القليل من الوقت لدراسته في البرنامج (في الصف السادس - ساعتين ، في الصف الثامن - 4 ساعات).

بناءً على ما تقدم ، يحتاج المعلم إلى إيجاد مجموعة متنوعة من التقنيات المنهجية ، واستخدام طرق وأساليب مختلفة في تدريس حل المشكلات باستخدام الوحدة. ستساهم مجموعة متنوعة من الطرق في استيعاب المعرفة الرياضية بالمعنى الواعي ، وإشراك الطلاب في النشاط الإبداعي ، بالإضافة إلى حل عدد من المشكلات المنهجية التي تواجه المعلم في عملية التعلم ، وعلى وجه الخصوص ، تنفيذ الاتصالات intraubject (هندسة الجبر) ، وتوسيع نطاق استخدام الرسوم البيانية ، وزيادة نطاق استخدام الرسوم البيانية للطلاب .

تحدد هذه الظروف اختيار موضوع العمل الإبداعي. الغرض من العمل: لإظهار الحاجة إلى دراسة أعمق لموضوع "حل المعادلات مع وحدة نمطية" في المناهج الدراسية ، لوضع مبادئ توجيهية لاستخدام أساليب مختلفة في حل المشاكل مع الوحدة النمطية. §1. الطرق الرئيسية المستخدمة في حل المعادلات التي تحتوي على وحدة نمطية.

أذكر المفاهيم الأساسية المستخدمة في هذا الموضوع. تسمى المعادلة مع متغير واحد المساواة التي تحتوي على متغير. جذور المعادلة هي قيم المتغير ، حيث تتحول المعادلة إلى مساواة حقيقية. حل المعادلة يعني إيجاد كل جذورها أو إثبات عدم وجود جذور. المعادلة مع وحدة نمطية هي المساواة التي تحتوي على متغير تحت علامة الوحدة النمطية.

عند حل المعادلات التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة ، سنستند إلى تعريف القيمة المطلقة للرقم وخصائص القيمة المطلقة للرقم.

هناك عدة طرق لحل المعادلات باستخدام وحدة نمطية. دعونا نفكر في كل منهم بمزيد من التفاصيل.

1 الطريق. طريقة الكشف التسلسلي للوحدة.

مثال 1. نحل المعادلة | x-5 | = 4.

استنادًا إلى تعريف الوحدة ، نقوم بعمل التعليل التالي. إذا كان التعبير الموجود تحت علامة الوحدة النمطية غير سالب ، أي x-5≥0 ، فإن المعادلة سوف تأخذ الصيغة x-5 = 4. إذا كانت قيمة التعبير تحت علامة الوحدة النمطية سالبة ، فعندها ستكون مساوية لـ - (x-5) = 4 أو x-5 = -4. حل المعادلات التي تم الحصول عليها ، نجد: x1 = 9 ، x2 = 1.
الجواب: 9 ، 1.
دعنا نحل بالطريقة نفسها معادلة تحتوي على "وحدة نمطية في الوحدة".

مثال 2. نحل المعادلة || 2x-1 | -4 | = 6.

بحجة بطريقة مماثلة ، فإننا نعتبر حالتين.
1). | 2x-1 | -4 = 6 ، | 2x-1 | = 10. باستخدام تعريف الوحدة مرة أخرى ، نحصل على: 2x-1 = 10 أو 2x-1 = -10. من حيث x1 = 5.5 ، x2 = -4.5.
2). | 2x-1 | -4 = -6 ، | 2x-1 | = -2. من الواضح أنه في هذه الحالة ، لا يوجد حل للمعادلة ، حيث أن الوحدة النمطية غير سلبية دائمًا.
الجواب: 5.5 ، -4.5.
2 الطريق. طريقة الفاصل
المعلومات المرجعية:

طريقة الفاصل - هذه طريقة لتقسيم خط الأرقام إلى فواصل زمنية ، من خلالها يمكن تعريف العلامة المطلقة بتعريف الوحدة. لكل من الفجوات ، من الضروري حل المعادلة واستخلاص استنتاج بشأن الجذور الناتجة. جذور تلبية الثغرات سوف تعطي الجواب النهائي.

مثال 3. نحل المعادلة | x + 3 | + | x-1 | = 6.
ابحث عن جذور (الأصفار) لكل تعبير موجود تحت علامة الوحدة النمطية: x + 3 = 0 ، x = -3 ، x-1 = 0 ، x = 1. هذه القيم س تقسم خط الرقم إلى ثلاثة مسافات:
-3 1

نحل المعادلة بشكل منفصل في كل من الفواصل الزمنية الناتجة. في الفترة الفاصلة الأولى (x Davydova Natalya Alexandrovna 06/12/2011 192859 0

قليلا من الناحية النظرية

لذلك دعونا نذهب. لنبدأ بالأهم: ما هي الوحدة؟ اسمح لي أن أذكرك بأن معامل الرقم هو ببساطة الرقم نفسه ، لكن يتم أخذه بدون علامة الطرح. هذا ، على سبيل المثال ، $ left | -5 right | = 5 $. أو $ اليسار | -129.5 يمين | = 129.5 دولار.

هل هذا بسيط؟ نعم بسيط. ثم ما هو معامل الرقم الموجب؟ هنا أبسط: معامل العدد الموجب يساوي هذا الرقم نفسه: $ left | 5 right | = 5 $ ، $ left | 129.5 يمين | = 129.5 دولارًا إلخ.

اتضح شيئًا غريبًا: يمكن أن يكون للأرقام المختلفة نفس الوحدة. على سبيل المثال: $ left | -5 اليمين | = اليسار | 5 right | = 5 $ ، $ left | -129.5 يمين | = يسار | 129.5 يمين | = 129.5 دولار. من السهل أن نلاحظ نوع الأرقام التي تكون الوحدات النمطية لها هي نفسها: هذه الأرقام معاكسة. وبالتالي ، نلاحظ بأنفسنا أن وحدات الأرقام المتوازية متساوية:

[ اليسار | -a right | = left | a right | ]

حقيقة مهمة أخرى: وحدة ليست سلبية أبدا. أيا كان العدد الذي نتخذه - حتى الإيجابي أو السلبي - فإن معاملته دائما ما تكون إيجابية (أو في الحالات القصوى ، صفر). لهذا السبب غالبًا ما تسمى الوحدة بالقيمة المطلقة للرقم.

بالإضافة إلى ذلك ، إذا قمنا بدمج تعريف الوحدة النمطية للأرقام الموجبة والسالبة ، فسوف نحصل على تعريف عام للوحدة النمطية لجميع الأرقام. وهي: معامل الرقم يساوي هذا الرقم بالذات إذا كان الرقم موجبًا (أو يساوي الصفر) ، أو يساوي الرقم المقابل إذا كان الرقم سالبًا. يمكنك كتابة هذا في شكل صيغة:

[ اليسار | يمين | = يسار < تبدأ& a، quad a ge 0، & -a، quad a lt 0. end صحيح. ]

يوجد أيضًا معامل صفر ، لكنه دائمًا صفر. بالإضافة إلى ذلك ، الصفر هو الرقم الوحيد الذي لا يحتوي على العكس.

وبالتالي ، إذا أخذنا في الاعتبار الدالة $ y = left | x right | $ وحاول رسم الرسم البياني الخاص به ، ثم تحصل على مثل هذا "الغربان":

رسم بياني للوحدة ومثال لحل المعادلة

من هذه الصورة ، يمكنك أن ترى على الفور $ left | -m right | = left | m right | $ ، ولا يقع الرسم البياني للوحدة النمطية أبدًا أسفل محور abscissa. ولكن هذا ليس كل شيء: يشير الخط الأحمر إلى السطر $ y = a $ ، والذي يمنحنا جذرًا واحدًا في نفس الوقت: $ <_ <1>> $ و $ <_ <2>> $ ، لكننا سنتحدث عن ذلك لاحقًا :)

بالإضافة إلى تعريف جبري بحت ، هناك تعريف هندسي. افترض أن هناك نقطتين على سطر الأرقام: $ <_ <1>> $ و $ <_ <2>> $. في هذه الحالة ، التعبير $ left | <_<1>>-<_ <2>> right | $ هو ببساطة المسافة بين النقاط المحددة. أو ، إذا أردت ، طول المقطع الذي يربط هذه النقاط:

الوحدة النمطية هي المسافة بين النقاط على خط الأرقام

ويترتب على هذا التعريف أيضًا أن الوحدة دائمًا غير سالب. لكن يكفي التعاريف والنظرية - دعنا ننتقل إلى هذه المعادلات. :)

الصيغة الأساسية

حسنا ، مع تعريف تسويتها. لكن ذلك لم يجعل الأمر أسهل. كيفية حل المعادلات التي تحتوي على هذه الوحدة جدا؟

الهدوء ، الهدوء فقط. لنبدأ بأبسط الأشياء. فكر في شيء مثل هذا:

لذلك ، الوحدة النمطية $ x $ تساوي 3. ما الذي يمكن أن يكون مساويًا $ x $؟ حسنًا ، بناءً على التعريف ، نحن سعداء جدًا بـ $ x = 3 $. في الواقع:

هل هناك أي أرقام أخرى؟ كاب ، كما كان ، يلمح إلى ما هو. على سبيل المثال ، $ x = -3 $ - بالنسبة له ، أيضًا ، $ left | -3 right | = 3 $ ، أي تحمل المساواة المطلوبة.

لذلك ربما ، إذا بحثت ، فكرت ، سنجد المزيد من الأرقام؟ لكن انقطع: لا يوجد المزيد من الأرقام. المعادلة $ left | x right | = 3 $ له جذران فقط: $ x = 3 $ و $ x = -3 $.

الآن دعنا نعقد المهمة قليلاً. دع بدلاً من المتغير $ x $ ، تم تعليق الدالة $ f left (x right) $ تحت علامة الوحدة النمطية ، وعلى اليمين ، بدلاً من الرقم الثلاثي ، ضع رقمًا تعسفيًا $ $. نحصل على المعادلة:

[ اليسار | f left (x right) right | = a ]

حسنا ، كيفية حل هذا؟ دعني أذكرك: $ f left (x right) $ هي وظيفة تعسفية ، $ a $ هو أي رقم. أي عموما أي! على سبيل المثال:

[ اليسار | 2x + 1 right | = 5 ]

[ اليسار | 10x-5 right | = -65 ]

دعنا ننتبه إلى المعادلة الثانية. يمكنك أن تقول على الفور عنه: ليس لديه جذور. لماذا؟ هذا صحيح: لأنه يتطلب أن تكون الوحدة النمطية مساوية للرقم السلبي ، وهو أمر لا يحدث أبدًا ، لأننا نعلم بالفعل أن الوحدة النمطية هي دائمًا رقم موجب أو ، في الحالات القصوى ، صفر.

ولكن مع المعادلة الأولى ، كل شيء أكثر متعة. هناك خياران: إما تحت علامة الوحدة النمطية هو تعبير إيجابي ، ثم $ left | 2x + 1 right | = 2x + 1 $ ، أو ما زال هذا التعبير سالبًا ، ثم $ left | 2x + 1 right | = - left (2x + 1 right) = - 2x-1 $. في الحالة الأولى ، تتم إعادة كتابة المعادلة الخاصة بنا على النحو التالي:

[ اليسار | 2x + 1 right | = 5 Rightarrow 2x + 1 = 5 ]

وفجأة اتضح أن تعبير subodular $ 2x + 1 $ إيجابي حقًا - يساوي الرقم 5. وهذا هو ، يمكننا حل هذه المعادلة بهدوء - سيكون الجذر الناتج جزءًا من الإجابة:

[2x + 1 = 5 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2 ]

قد يحاول الأشخاص الذين لا يصدقون بشكل خاص استبدال الجذر الموجود في المعادلة الأصلية والتأكد من وجود رقم موجب ضمن الوحدة النمطية.

الآن دعونا نلقي نظرة على حالة تعبير وحدات سالب سلبي:

[ left < تبدأ& اليسار | 2x + 1 right | = 5 & 2x + 1 lt 0 end right. Rightarrow -2x-1 = 5 Rightarrow 2x + 1 = -5 ]

أوبا! كل شيء واضح مرة أخرى: افترضنا أن $ 2x + 1 lt 0 $ ، ونتيجة لذلك حصلنا على $ 2x + 1 = -5 $ - في الواقع ، هذا التعبير أقل من الصفر. نحل المعادلة الناتجة ، بينما نعلم بالفعل أن الجذر الموجود سوف يناسبنا:

[2x + 1 = -5 Rightarrow 2x = -6 Rightarrow x = -3 ]

في المجموع ، تلقينا مرة أخرى إجابتين: $ x = 2 $ و $ x = 3 $. نعم ، تبين أن حجم الحسابات أكبر قليلاً من المعادلة البسيطة جدًا $ left | x right | = 3 $ ، ولكن في الأساس لم يتغير شيء. لذلك ربما هناك نوع من الخوارزمية العالمية؟

نعم ، هذه الخوارزمية موجودة. والآن سوف نفرقها.

التخلص من علامة الوحدة

دعنا نعطى المعادلة $ left | f left (x right) right | = a $ ، و $ a ge 0 $ (وإلا ، كما نعلم بالفعل ، لا توجد جذور). ثم يمكنك التخلص من علامة الوحدة النمطية بواسطة القاعدة التالية:

[ اليسار | f left (x right) right | = a Rightarrow f left (x right) = pm a ]

وبالتالي ، فإن المعادلة لدينا مع وحدة ينقسم إلى قسمين ، ولكن من دون وحدة نمطية. هذا كل التكنولوجيا! دعنا نحاول حل بعض المعادلات. لنبدأ بهذا

[ اليسار | 5x + 4 right | = 10 Rightarrow 5x + 4 = pm 10 ]

سنأخذ بعين الاعتبار بشكل منفصل عندما يكون العشرات الذين لديهم علامة زائد على اليمين ، وبشكل منفصل عند علامة ناقص. لدينا:

هذا كل شئ! حصلنا على جذرتين: $ x = 1.2 $ و $ x = -2.8 $. استغرق القرار كله حرفي سطرين.

حسنًا ، لا شك ، دعونا ننظر إلى شيء أكثر جدية:

[ اليسار | 7-5x right | = 13 ]

مرة أخرى ، افتح الوحدة النمطية مع علامة زائد وناقص:

مرة أخرى بضعة أسطر - والجواب جاهز! كما قلت ، لا يوجد شيء معقد في الوحدات. تحتاج فقط إلى تذكر بعض القواعد. لذلك ، نحن نمضي إلى الأمام ونتقدم بمهام أكثر تعقيدًا.

حالة متغير الجانب الأيمن

الآن النظر في هذه المعادلة:

[ اليسار | 3x-2 right | = 2x ]

هذه المعادلة تختلف اختلافا جوهريا عن جميع المعادلات السابقة. ماذا؟ وحقيقة أن يسار علامة المساواة هو التعبير $ 2x $ - ولا يمكننا أن نعرف مقدمًا ما إذا كان إيجابيًا أم سلبيًا.

ماذا تفعل في هذه الحالة؟ أولاً ، يجب أن نفهم ذلك مرة واحدة وإلى الأبد إذا تبين أن الجانب الأيمن من المعادلة سالب ، فلن يكون للمعادلة أي جذور - نعلم بالفعل أن الوحدة لا يمكن أن تساوي عددًا سالبًا.

وثانياً ، إذا كان الجزء الأيمن لا يزال موجبًا (أو يساوي الصفر) ، فيمكنك التصرف بالطريقة نفسها تمامًا كما كان من قبل: ما عليك سوى فتح الوحدة النمطية بشكل منفصل باستخدام علامة زائد وعلى حدة مع علامة الطرح.

وبالتالي ، نقوم بصياغة قاعدة للوظائف التعسفية $ f left (x right) $ و $ g left (x right) $:

[ اليسار | f left (x right) right | = g left (x right) Rightarrow left < start& f left (x right) = pm g left (x right) ، & g left (x right) ge 0. end صحيح. ]

فيما يتعلق بالمعادلة لدينا ، نحصل على:

[ اليسار | 3x-2 right | = 2x Rightarrow left < start& 3x-2 = pm 2x ، & 2x ge 0. end صحيح. ]

حسنًا ، يمكننا التعامل مع متطلبات $ 2x ge 0 $ بطريقة أو بأخرى. في النهاية ، يمكنك الاستعاضة عن الجذور التي نحصل عليها من المعادلة الأولى بغباء والتحقق مما إذا كان عدم المساواة ثابت أم لا.

لذلك ، نحل المعادلة نفسها:

حسنًا ، وأي من هذين الجذرين يفي بمتطلبات $ 2x ge 0 $؟ نعم كلاهما! لذلك ، سيعود رقمان: $ x = <4> / <3> ، $ و $ x = 0 $. هذا هو الحل كله :)

أظن أن أحد الطلاب قد بدأ بالفعل بالملل؟ حسنًا ، فكر في معادلة أكثر تعقيدًا:

على الرغم من أنها تبدو مفرغة ، إلا أنها في الحقيقة نفس المعادلة في النموذج "الوحدة تساوي الوظيفة":

[ اليسار | f left (x right) right | = g left (x right) ]

ويتم حلها بنفس الطريقة:

سنتعامل مع عدم المساواة في وقت لاحق - إنها مفرغة إلى حد ما (بسيطة بالفعل ، لكننا لن نحلها). في حين أنه من الأفضل التعامل مع المعادلات التي تم الحصول عليها. النظر في الحالة الأولى - وهذا هو عندما يتم توسيع الوحدة مع علامة الجمع:

حسنًا ، هنا والقنفذ ، من الواضح أنك تحتاج إلى جمع كل شيء على اليسار ، وإحضار أشياء مماثلة ومشاهدة ما يحدث. وهذا ما يحدث:

عامل $ <^ <2>> $ خارج القوس ونحصل على معادلة بسيطة للغاية:

استخدمنا هنا الخاصية المهمة للمنتج ، من أجل ذلك قمنا بتحليل كثير الحدود الأصلي إلى عوامل: المنتج يساوي الصفر عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي الصفر.

الآن سنتعامل مع المعادلة الثانية بنفس الطريقة ، والتي يتم الحصول عليها من خلال توسيع الوحدة النمطية مع علامة الطرح:

مرة أخرى نفس الشيء: المنتج يساوي الصفر عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي الصفر. لدينا:

حسنًا ، حصلنا على ثلاث جذور: $ x = 0 $ ، $ x = 1،5 $ و $ x = <2> / <3> ، $. إذن ماذا عن هذه المجموعة سيذهب إلى الجواب النهائي؟ للقيام بذلك ، تذكر أن لدينا قيودًا إضافية في شكل عدم المساواة:

كيف تأخذ هذا الشرط في الاعتبار؟ نعم ، نحن فقط نستبدل الجذور التي تم العثور عليها ونفحصها: تحمل اللامساواة ثمن هذه $ x $ أم لا. لدينا:

وبالتالي ، فإن الجذر $ س = 1.5 دولار لا يناسبنا. واستجابة لذلك ، ستذهب جذران فقط:

كما ترون ، حتى في هذه الحالة لم يكن هناك شيء معقد - يتم حل المعادلات مع الوحدات النمطية دائمًا بواسطة الخوارزمية. من الضروري فقط فهم كثيرات الحدود والتفاوتات جيدًا. لذلك ، ننتقل إلى مهام أكثر تعقيدًا - لن تكون هناك بالفعل واحدة ، ولكن هناك وحدتان.

معادلات مع اثنين من الوحدات

حتى الآن ، درسنا فقط أبسط المعادلات - كان هناك وحدة واحدة وشيء آخر. لقد أرسلنا هذا "شيء آخر" إلى جزء آخر من عدم المساواة ، بعيدًا عن الوحدة ، بحيث ينتهي كل شيء في النهاية بمعادلة النموذج $ left | f left (x right) right | = g left (x right) $ أو حتى $ left أبسط f left (x right) right | = a $.

لكن روضة الأطفال قد انتهت - لقد حان الوقت للنظر في شيء أكثر خطورة. لنبدأ بالمعادلات من هذا النوع:

[ اليسار | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | ]

هذه المعادلة من النموذج "الوحدة تساوي الوحدة". النقطة المهمة هي عدم وجود مصطلحات وعوامل أخرى: وحدة واحدة فقط على اليسار ، وحدة أخرى على اليمين - ولا شيء أكثر من ذلك.

شخص ما سوف يعتقد الآن أن هذه المعادلات يتم حلها أكثر تعقيدًا مما درسناه حتى الآن. وهنا لا يتم حل هذه المعادلات بطريقة أكثر بساطة. هنا هي الصيغة:

[ اليسار | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | Rightarrow f left (x right) = pm g left (x right) ]

هذا كل شئ! نحن ببساطة نساوي تعبيرات subodular بوضع علامة زائد أو ناقص أمام أحدها. ثم نحل المعادلات التي تم الحصول عليها - والجذور جاهزة! لا توجد قيود إضافية ، لا مساواة ، إلخ. كل شيء بسيط جدا.

دعنا نحاول حل هذه المشكلة:

[ اليسار | 2x + 3 right | = left | 2x-7 right | ]

الابتدائية ، واتسون! نكشف الوحدات:

[ اليسار | 2x + 3 right | = left | 2x-7 right | Rightarrow 2x + 3 = pm left (2x-7 right) ]

نحن نعتبر كل حالة على حدة:

لا توجد جذور في المعادلة الأولى. لأنه عندما يكون 3 دولارات = -7 دولار؟ ما هي قيم $ x $؟ "ماذا بحق الجحيم هو دولار × دولار؟ هل تم التدخين لا يوجد دولار على الإطلاق. وسوف تكون على حق. لقد حصلنا على مساواة مستقلة عن المتغير $ x $ ، والمساواة نفسها غير صحيحة. لذلك ، لا توجد جذور. :)

مع المعادلة الثانية ، كل شيء أكثر إثارة للاهتمام ، ولكن أيضا بسيط للغاية:

[2x + 3 = -2x + 7 Rightarrow 4x = 4 Rightarrow x = 1 ]

كما ترون ، تم تحديد كل شيء حرفيًا في سطرين - لم نتوقع شيئًا آخر من المعادلة الخطية. :)

الإجابة النهائية هي: $ x = 1 $.

حسنا كيف؟ هل هو صعب؟ بالطبع لا. لنجرب شيئًا آخر:

مرة أخرى ، لدينا معادلة للنموذج $ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | $. لذلك ، نعيد كتابتها فورًا ، ونكشف عن علامة الوحدة:

ربما يسأل أحدهم الآن: "مهلا ، أي نوع من الهراء؟ لماذا يقف "زائد أو ناقص" في التعبير الصحيح ، وليس في اليسار؟ "بهدوء ، الآن سأشرح كل شيء. في الواقع ، بطريقة جيدة ، كان علينا إعادة كتابة معادلة لدينا على النحو التالي:

بعد ذلك تحتاج إلى فتح الأقواس ، وانقل كل المصطلحات إلى جانب واحد من علامة المساواة (حيث من الواضح أن المعادلة ستكون مربعة في كلتا الحالتين) ، ثم ابحث عن الجذور أكثر. لكن يجب عليك الاعتراف: عندما تكون علامة الجمع أو الطرح أمام المصطلحات الثلاثة (خاصةً عندما يكون أحد هذه المصطلحات تعبيرًا مربعًا) ، يبدو بطريقة ما أكثر تعقيدًا من الموقف عندما تكون علامة الجمع أو الطرح أمام المصطلحين فقط.

لكن لا شيء يمنعنا من إعادة كتابة المعادلة الأصلية كما يلي:

[ اليسار | x-1 right | = left | <^ <2>> -3x + 2 right | Rightarrow left | <^ <2>> -3x + 2 right | = left | x-1 right | ]

ماذا حدث نعم ، لا شيء خاص: فقط تبديل الجانبين الأيسر والأيمن. تافه ، والتي في النهاية سوف تبسط حياتنا قليلا :)

بشكل عام ، نحل هذه المعادلة من خلال النظر في الخيارات مع الجمع والطرح:

المعادلة الأولى لها جذور $ x = 3 $ و $ x = 1 $. والثاني هو عموما مربع دقيق:

لذلك ، له جذر واحد: $ x = 1 $. ولكن تلقينا بالفعل هذا الجذر في وقت سابق. وبالتالي ، سيذهب فقط رقمان إلى الإجابة النهائية:

المهمة أنجزت! يمكنك أخذه من الرف وتناول فطيرة. هناك 2 منهم ، متوسط ​​الخاص بك :)

إشعار مهم. إن وجود نفس الجذور للمتغيرات المختلفة لتوسعة الوحدة يعني أن كثيرات الحدود الأصلية يتم معالجتها ، ومن بين هذه العوامل سيكون هناك بالتأكيد واحد مشترك. في الواقع:

أحد خصائص الوحدة النمطية: $ left | cdot b right | = left | a right | cdot left | b right | $ (أي أن وحدة المنتج تساوي منتج الوحدات النمطية) ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية كما يلي:

[ اليسار | x-1 right | = left | x-1 right | cdot left | x-2 right | ]

كما ترون ، لدينا حقا عامل مشترك. الآن ، إذا قمت بجمع كل الوحدات من جهة ، يمكنك أن تضع هذا العامل خارج القوس:

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ egin& left| x-1 ight|=0, & left| x-2 ight|=1. end ight.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

ومع ذلك ، يتم حل هذه المعادلة حتى أكثر بساطة مما اعتبرناه في وقت سابق. وإذا فهمت السبب ، فستحصل على خدعة أخرى لحل المعادلات بسرعة باستخدام الوحدات النمطية.

لا ، هذا ليس خطأ مطبعيًا: بين الوحدات عبارة عن علامة زائد. ونحن بحاجة إلى العثور على $ x $ مجموع مجموعتين هو صفر. :)

ما هي المشكلة؟ والمشكلة هي أن كل وحدة هي رقم موجب ، أو في الحالات القصوى ، صفر. وماذا يحدث إذا قمت بإضافة رقمين موجبين؟ من الواضح ، رقم موجب مرة أخرى:

قد يؤدي السطر الأخير إلى التفكير: الحالة الوحيدة عندما يكون مجموع الوحدات مساوية للصفر إذا كانت كل وحدة تساوي الصفر:

ومتى الوحدة يساوي الصفر؟ في حالة واحدة فقط - عندما يكون تعبير الوحدة الفرعية صفراً:

[x- <^ <3>> = 0 Rightarrow x left (1- <^ <2>> right) = 0 Rightarrow left [ start& x = 0 & x = pm 1 end صحيح. ]

[<^ <2>> + x-2 = 0 Rightarrow left (x + 2 right) left (x-1 right) = 0 Rightarrow left [ start& x = -2 & x = 1 end صحيح. ]

وبالتالي ، لدينا ثلاث نقاط يكون فيها الوحدة الأولى صفراً: 0 و 1 و −1 ، بالإضافة إلى نقطتين حيث تكون الوحدة الثانية صفراً: and2 و 1. ومع ذلك ، نحن بحاجة إلى كلتا الوحداتتين إلى الصفر في نفس الوقت ، لذلك بين العثور على أرقام تحتاج إلى اختيار تلك الموجودة في كلتا المجموعتين. من الواضح أن هذا الرقم واحد فقط: $ x = 1 $ - ستكون هذه هي الإجابة النهائية.

طريقة الانقسام

حسنًا ، لقد غطينا بالفعل مجموعة من المهام وتعلمنا الكثير من الحيل. هل تعتقد أن هذا كل شيء؟ و لا! الآن سننظر في حفل الاستقبال النهائي - وفي نفس الوقت الاستقبال الأكثر أهمية. سيكون حول تقسيم المعادلات مع وحدة نمطية. ماذا سيكون كل شيء؟ دعنا نعود قليلا وننظر إلى بعض المعادلات البسيطة. على سبيل المثال ، هذا:

[ اليسار | 3x-5 right | = 5-3x ]

من حيث المبدأ ، نحن نعرف بالفعل كيفية حل هذه المعادلة ، لأن هذا بناء قياسي للنموذج $ left | f left (x right) right | = g left (x right) $. ولكن دعونا نحاول أن ننظر إلى هذه المعادلة من زاوية مختلفة قليلاً. بتعبير أدق ، ضع في الاعتبار التعبير الموجود تحت علامة الوحدة النمطية. اسمحوا لي أن أذكرك بأن معامل أي رقم يمكن أن يكون مساويا للرقم نفسه ، أو يمكن أن يكون عكس هذا الرقم:

[ اليسار | يمين | = يسار < تبدأ& a، quad a ge 0، & -a، quad a lt 0. end صحيح. ]

في الواقع ، هذا الغموض هو المشكلة بأكملها: بما أن الرقم الموجود تحت الوحدة النمطية يتغير (يعتمد على المتغير) ، فليس من الواضح لنا ما إذا كان موجبًا أم سالبًا.

ولكن ماذا لو كان الشرط الأولي أن يكون هذا الرقم موجبًا؟ على سبيل المثال ، نطلب أن يكون مبلغ 3x-5 gt 0 $ - في هذه الحالة ، نضمن الحصول على رقم موجب تحت علامة الوحدة ، ويمكننا التخلص تمامًا من هذه الوحدة نفسها:

[3x-5 gt 0 Rightarrow left | 3x-5 right | = 3x-5 ]

وبالتالي ، سوف تتحول معادلة لدينا إلى خطي ، والتي يمكن حلها بسهولة:

[3x-5 = 5-3x Rightarrow 6x = 10 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

صحيح ، كل هذه الاعتبارات لا تكون منطقية إلا في حالة $ 3x-5 gt 0 $ - نحن أنفسنا قدمنا ​​هذا المطلب من أجل الكشف عن الوحدة بشكل لا لبس فيه. لذلك ، دعنا نستبدل $ x = frac <5> <3> $ الموجود في هذا الشرط وتحقق منه:

[x = frac <5> <3> Rightarrow 3x-5 = 3 cdot frac <5> <3> -5 = 5-5 = 0 ]

اتضح أنه بالقيمة المحددة $ x $ لم يتم الوفاء بمتطلباتنا ، لأن تحول التعبير إلى صفر ، ونحن بحاجة إلى أن يكون أكبر من الصفر تمامًا. الحزن. :(

ولكن لا صفقة كبيرة! بعد كل شيء ، لا يزال هناك خيار $ 3x-5 lt 0 $. علاوة على ذلك: هناك أيضًا حالة $ 3x-5 = 0 $ - يجب أيضًا مراعاة ذلك ، وإلا لن يكون الحل كاملاً. لذلك ، ضع في اعتبارك حالة $ 3x-5 lt 0 $:

[3x-5 lt 0 Rightarrow left | 3x-5 right | = 5-3x ]

من الواضح ، سيتم فتح الوحدة النمطية مع علامة الطرح. ولكن بعد ذلك ينشأ موقف غريب: التعبير نفسه سينطلق في المعادلة الأصلية على اليسار وعلى اليمين:

أتساءل أي نوع من تعبير $ x $ $ 5-3x $ سيكون مساوياً للتعبير $ 5-3x $؟ من هذه المعادلات ، حتى الكابتن كان يخنق اللعاب ، لكننا نعرف شيئًا: هذه المعادلة هي هوية ، أي هذا صحيح لأي قيمة للمتغير!

وهذا يعني أن أي دولار × دولار سوف يناسبنا. ومع ذلك ، لدينا قيود:

[3x-5 lt 0 Rightarrow 3x lt 5 Rightarrow x lt frac <5> <3> ]

بمعنى آخر ، الجواب ليس رقماً واحداً ، بل فاصل كامل:

[x in left (- infty ، frac <5> <3> right) ]

أخيرًا ، يبقى النظر في حالة أخرى: $ 3x-5 = 0 $. كل شيء بسيط: تحت الوحدة سيكون هناك صفر ، وستكون الوحدة صفر أيضًا (وهذا يتبع مباشرة من التعريف):

[3x-5 = 0 Rightarrow left | 3x-5 right | = 0 ]

لكن المعادلة الأصلية هي $ left | 3x-5 right | = 5-3x $ سيتم إعادة كتابتها على النحو التالي:

[0 = 3x-5 Rightarrow 3x = 5 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

لقد حصلنا بالفعل على هذا الجذر أعلاه عندما نظرنا في حالة $ 3x-5 gt 0 $. علاوة على ذلك ، فإن هذا الجذر هو حل للمعادلة $ 3x-5 = 0 $ - وهذا قيد قدمناه نحن أنفسنا لإعادة ضبط الوحدة النمطية. :)

وبالتالي ، بالإضافة إلى الفاصل الزمني ، نحن أيضًا راضون عن العدد الموجود في نهاية هذا الفاصل الزمني:

الجمع بين الجذور في المعادلات مع وحدة نمطية

إجمالي الإجابة النهائية: $ x in left (- infty ، frac <5> <3> right] $. ليس من المألوف جدًا رؤية مثل هذه حماقة في الإجابة لمعادلة بسيطة (خطية بشكل أساسي) مع وحدة نمطية حسنًا ، تعتاد على ذلك: يكمن تعقيد الوحدة في حقيقة أن الإجابات في مثل هذه المعادلات يمكن أن تكون غير متوقعة على الإطلاق.

الأهم من ذلك بكثير هو الآخر: لقد توصلنا للتو إلى خوارزمية عالمية لحل معادلة مع تعديل! وتتكون هذه الخوارزمية من الخطوات التالية:

  1. تساوي كل وحدة في المعادلة إلى الصفر. نحصل على بعض المعادلات
  2. حل كل هذه المعادلات وتمييز الجذور على خط الرقم. نتيجةً لذلك ، سيتم تقسيم الخط إلى عدة فواصل زمنية يتم فيها توسيع كل الوحدات بشكل فريد ،
  3. حل المعادلة الأصلية لكل فاصل ودمج الإجابات التي تم الحصول عليها.

هذا كل شئ! يتبقى سؤال واحد فقط: من أين يمكن الحصول على الجذور نفسها التي تم الحصول عليها في الخطوة الأولى؟ افترض أننا حصلنا على جذرين: $ x = 1 $ و $ x = 5 $. سيقومون بتقسيم خط الرقم إلى 3 قطع:

تقسيم المحور العددي إلى فواصل زمنية باستخدام النقاط

حسنا ، ما هي الفواصل الزمنية هنا؟ من الواضح أن هناك ثلاثة منهم:

  1. أقصى اليسار: $ x lt 1 $ - الوحدة نفسها لا تدخل الفاصل الزمني ،
  2. المركزية: $ 1 le x lt 5 $ - هذا هو المكان الذي توجد فيه الوحدة في الفاصل ، لكن الخمسة غير مدرجة ،
  3. أقصى اليمين: $ x ge 5 $ - يتم تضمين الخمسة هنا فقط!

أعتقد أنك فهمت بالفعل هذا النمط. يتضمن كل فاصل زمني الطرف الأيسر ولا يشمل اليمين.

للوهلة الأولى ، قد يبدو هذا السجل غير مريح وغير منطقي وعموما نوعًا من الجنون. لكن صدقوني: بعد جلسة تدريب قصيرة ، ستجد أن هذا النهج هو الأكثر موثوقية وفي الوقت نفسه لا يتداخل مع الكشف الواضح عن الوحدات. من الأفضل استخدام مثل هذا المخطط بدلاً من التفكير في كل مرة: إعطاء الطرف الأيسر / الأيمن للفاصل الزمني الحالي أو "رميه" إلى التالي.

بهذا نختتم الدرس. قم بتنزيل المهام للحصول على حل مستقل ، وقم بالتدريب والمقارنة مع الإجابات - وأراك في الدرس التالي ، والذي سيتم تكريسه لعدم المساواة مع الوحدات النمطية :)

شاهد الفيديو: شرح البوابات المنطقية الجزء الأول (يوليو 2022).

Pin
Send
Share
Send
Send