يعمل wikiHow على مبدأ الويكي ، مما يعني أن العديد من مقالاتنا كتبها العديد من المؤلفين. عند إنشاء هذه المقالة ، عمل 13 شخصًا (أ) على تحريرها وتحسينها ، بما في ذلك مجهول الهوية.
عدد المصادر المستخدمة في هذه المقالة: 6. ستجد قائمة بها في أسفل الصفحة.
في الفضاء ثنائي الأبعاد ، يتقاطع سطرا عند نقطة واحدة فقط محددة بواسطة الإحداثيات (س ، ص). نظرًا لأن كلا الخطين يمر عبر نقطة تقاطعهما ، يجب أن تفي الإحداثيات (س ، ص) بكلتا المعادلتين اللتين تصفان هذه الخطوط. باستخدام بعض المهارات الإضافية ، يمكنك العثور على نقاط تقاطع القطع المكافئة وغيرها من المنحنيات التربيعية.
نقطة تقاطع خطين على متن الطائرة
إذا كان نظام المعادلات:
- لديها الحل الوحيدثم خطوط تتقاطع,
- لديها حلول لا نهاية لهاثم خطوط المباراة,
- ليس لديه قراراتثم خطوط مستقيمة لا تتقاطع (خطوط موازية لبعضها البعض)
الحل: لحساب إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط ، نحل نظام المعادلات:
y = 2 x - 1 y = -3 x + 1
اطرح الثانية من المعادلة الأولى
y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1
من المعادلة الأولى نجد قيمة x
5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1
استبدل قيمة x في المعادلة الثانية وابحث عن قيمة y
x = 0.4 y = -3 · (0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2
الجواب. نقطة التقاطع لخطين لها إحداثيات (0.4 ، -0.2)
الحل: لحساب إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط ، نحل نظام المعادلات:
y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t
في المعادلة الأولى ، نستبدل قيم x و y من المعادلتين الثانية والثالثة.
t = 2 · (2 t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>
-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t
استبدل قيمة t في المعادلة الثانية والثالثة
t = - 1 3 x = 2 · (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3
الجواب. نقطة التقاطع لخطين لها إحداثيات (1 3 ، - 1 3)
الحل: لحساب إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط ، نحل نظام المعادلات:
2 x + 3 y = 0 x - 2 3 = y 4
من المعادلة الثانية ، نعبر عن y من حيث x
2 x + 3 y = 0 y = 4 x - 2 3
استبدل y في المعادلة الأولى
2 x + 3 · 4 · x - 2 3 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 2 x + 4 · (x - 2) = 0 y = 4 · x - 2 3 =>
2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 6 x = 8 y = 4 · x - 2 3 =>
x = 8 6 = 4 3 y = 4 · x - 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4 · 4/3 - 2 3 = 4 · -2/3 3 = - 8 9
الجواب. نقطة التقاطع لخطين لها إحداثيات (4 3، - 8 9)
الحل: يتم إعطاء كلا الخطين بواسطة معادلات مع معامل الزاوي. منذ ك 1 = ك 2 = 2 ، ثم الخطوط متوازية. نظرًا لأن هذه الخطوط لا تتزامن ، لا توجد نقاط تقاطع.
سنحل هذه المشكلة أيضًا باستخدام نظام المعادلات:
y = 2 x - 1 y = 2 x + 1
اطرح الثانية من المعادلة الأولى
y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1
في المعادلة الأولى حصلنا على تناقض (0 ≠ -2) ، مما يعني أن النظام لا يوجد لديه حلول - لا توجد نقاط تقاطع خطوط (خطوط متوازية).
الجواب. لا تتقاطع الخطوط (الخطوط متوازية).
الحل: نستبدل إحداثيات النقطة N في معادلة الخطوط.
الجواب. نظرًا لأن كلا المعادلتين تحولتا إلى هويات ، فإن النقطة N هي نقطة تقاطع هذه الخطوط.
نقطة تقاطع سطرين في الفضاء
إذا كان نظام المعادلات:
- لديه حل فريد ، ثم تتقاطع الخطوط ،
- لديه عدد لا حصر له من الحلول ، ثم تتزامن الخطوط ،
- لا يوجد لديه حلول ، ثم لا تتقاطع الخطوط (الخطوط متوازية أو متقاطعة)
الحل: نحن نؤلف نظام المعادلات
x - 1 = ay - 1 = az - 1 = ax - 3 -2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>
نحن نستبدل قيم x و y و z من 1 ، 2 ، 3 إلى معادلات 4 ، 5 ، 6
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b 2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 = b
أضف المعادلة الخامسة إلى المعادلة السادسة
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = bb = 1
نستبدل قيمة b في المعادلتين الرابعة والخامسة
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 أ = 0 ب = 1 =>
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 أ = 0 ب = 1
الجواب. تتقاطع الخطوط عند نقطة الإحداثيات (1 ، 1 ، 1).
الحل: نؤلف نظام المعادلات من خلال استبدال المعلمة t في المعادلة الثانية
x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 = z = 3
نحن نستبدل قيم x و y و z من 1 ، 2 ، 3 إلى معادلات 4 ، 5 ، 6
x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>
نحن نستبدل قيمة t من المعادلة السادسة إلى المعادلات المتبقية
x = 2 · (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2 · (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1
الجواب. منذ -6 ≠ 1 3 ، لا تتقاطع الخطوط.
نقطة تقاطع الخطوط في الفضاء - نظرية وأمثلة وحلول
- محتوى
- 1. نقطة تقاطع الخطوط المعطاة في شكل قانوني.
- 2. نقطة التقاطع للخطوط المحددة في شكل حدودي.
- 3. نقطة تقاطع الخطوط المعطاة بأشكال مختلفة.
- 4. أمثلة لإيجاد نقطة تقاطع الخطوط في الفضاء.
1. نقطة تقاطع الأسطر في الفضاء المحددة في شكل قانوني.
دع نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل Oxyz واسمحوا خطوط مستقيمة تعطى في هذا النظام تنسيق L1 و L2:
| , | (1) |
| , | (2) |
العثور على نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2 (الشكل 1).
 |
نكتب المعادلة (1) في شكل نظام من المعادلتين الخطية:
| , | (3) |
| (4) |
دعنا نتضاعف في المعادلتين (3) و (4):
| ص1(س−س1)=م1(ذ−ذ1) |
| ل1(ذ−ذ1)=ص1(ض−ض1) |
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
| ص1س−م1ذ=ص1س1−م1ذ1, | (5) |
| ل1ذ−ص1ض=ل1ذ1−ص1ض1. | (6) |
وبالمثل ، نقوم بتحويل المعادلة (2):
نكتب المعادلة (2) في شكل نظام من المعادلتين الخطية:
| , | (7) |
| (8) |
دعنا نتضاعف في المعادلتين (7) و (8):
| ص2(س−س2)=م2(ذ−ذ2) |
| ل2(ذ−ذ2)=ص2(ض−ض2) |
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
| ص2س−م2ذ=ص2س2−م2ذ2, | (9) |
| ل2ذ−ص2ض=ل2ذ2−ص2ض2. | (10) |
نحل نظام المعادلات الخطية (5) ، (6) ، (9) ، (10) مع ثلاثة مجهولين س ، ص ، ض. للقيام بذلك ، تخيل هذا النظام في شكل مصفوفة:
 | (11) |
كيفية حل نظام المعادلات الخطية (11) (أو (5) ، (6) ، (9) ، (10)) ، راجع صفحة أسلوب Gauss عبر الإنترنت. إذا كان نظام المعادلات الخطية (11) غير متوافق ، فعندئذٍ تكون الخطوط L1 و L2 لا تتقاطع. إذا كان النظام (11) لديه العديد من الحلول ، ثم الخطوط L1 و L2 تطابق الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية (11) يشير إلى أن هذا الحل يحدد إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2 .
2. نقطة التقاطع للخطوط المستقيمة في المساحة المحددة في شكل حدودي.
دع نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل Oxyz واسمحوا خطوط مستقيمة تعطى في هذا النظام تنسيق L1 و L2 في شكل حدودي:
| (12) |
| (13) |
مشكلة إيجاد نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2 يمكن حلها بطرق مختلفة.
الطريقة الأولى: نعطي معادلات الخطوط L1 و L2 إلى الشكل المتعارف عليه.
لإحضار المعادلة (12) إلى شكل قانوني ، نعبر عن المعلمة تي من خلال بقية المتغيرات:
| (14) |
بما أن الأطراف اليسرى للمعادلات (14) متساوية ، فيمكننا كتابة:
| (15) |
وبالمثل ، نعطي معادلة الخط L2 إلى الشكل المتعارف عليه:
| (16) |
بعد ذلك ، للعثور على نقطة تقاطع الأسطر المعطاة في شكل قانوني ، استخدم الفقرة 1.
الطريقة 2. للعثور على نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2 حل مشترك المعادلات (12) و (13). من المعادلتين (12) و (13) يلي:
| (17) |
| (18) |
| (19) |
من كل معادلة (17) ، (18) ، (19) نجد المتغير تي. أبعد من القيم التي تم الحصول عليها تي نختار تلك التي تلبي جميع المعادلات (17) - (19). إذا كانت هذه القيمة تي غير موجود ، ثم الخطوط لا تتقاطع. إذا كان هناك أكثر من قيمة واحدة ، فإن الخطوط تتزامن. إذا كانت هذه القيمة تي الشيء الوحيد الذي يحل محل هذا المفهوم تي في (12) أو (13) ، نحصل على إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط (12) و (13).
4. أمثلة لإيجاد نقطة تقاطع الخطوط في الفضاء.
مثال 1. ابحث عن نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2:
| (20) |
| (21) |
نحن نمثل المعادلة (20) في شكل معادلتين:
| (22) |
| (23) |
سنتضاعف في المعادلتين (22) و (23):
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
سنفعل نفس الشيء مع المعادلة (2).
نحن نمثل المعادلة (2) في شكل معادلتين:
| (26) |
| (27) |
الضرب المتقاطع في المعادلتين (7) و (8)
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
نحل نظام المعادلات الخطية (24) ، (25) ، (28) ، (29) مع ثلاثة مجهولين س ، ص ، ض. للقيام بذلك ، نمثل هذا النظام في شكل معادلة مصفوفة:
| (30) |
نحل نظام المعادلات الخطية (30) فيما يتعلق بـ س ، ص ، ض. لحل النظام ، نقوم ببناء مصفوفة طويلة:
دلالة بواسطة لط العناصر أناال الصف و يال ال العمود.
المرحلة الاولى المسار المباشر لغاوس.
استبعد عناصر العمود الأول من المصفوفة أسفل العنصر ل1 1. للقيام بذلك ، أضف السطر 3 بالسطر 1 مرات −1:
استبعد عناصر العمود الثاني من المصفوفة أسفل العنصر ل22. للقيام بذلك ، أضف السطر 4 إلى السطر 2 مرات −1/4:
نفعل التقليب من السطور 3 و 4.
المرحلة الثانية. عودة غاوس السكتة الدماغية.
استبعد عناصر العمود الثالث من المصفوفة أعلى العنصر ل33. للقيام بذلك ، أضف السطر 2 إلى السطر 3 مرات −4/3:
استبعد عناصر العمود الثاني من المصفوفة أعلى العنصر ل22. للقيام بذلك ، أضف السطر 1 إلى السطر 2 مرات 3/4:
قسّم كل صف من المصفوفة على العنصر البادء المقابل (في حالة وجود العنصر البادء):
الجواب. نقطة تقاطع الخط L1 و L2 لديه الإحداثيات التالية:
مثال 2. ابحث عن نقطة تقاطع الخطوط L1 و L2:
| (31) |
| (32) |
نعطي المعادلة حدودي للخط L1 إلى الشكل المتعارف عليه. نعبر عن المعلمة t من حيث المتغيرات المتبقية:
من المعادلات أعلاه نحصل على المعادلة القانونية للخط:
| (33) |
نحن نمثل المعادلة (33) في شكل معادلتين:
| (34) |
| (35) |
نقوم بالضرب التبادلي في المعادلتين (34 و (35):
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
| (36) |
| . | (37) |
سنفعل نفس الشيء مع المعادلة (2).
نحن نمثل المعادلة (2) في شكل معادلتين:
| (38) |
| (39) |
مضاعفة في المعادلتين (38) و (39)
افتح الأقواس وترجمة المتغيرات إلى الجانب الأيسر من المعادلات والعناصر المتبقية إلى الجانب الأيمن:
نحل نظام المعادلات الخطية (36) ، (37) ، (40) ، (41) مع ثلاثة مجهولين س ، ص ، ض. للقيام بذلك ، نمثل هذا النظام في شكل معادلة مصفوفة:
| (42) |
نحل نظام المعادلات الخطية (42) فيما يتعلق بـ س ، ص ، ض. لحل النظام ، نقوم ببناء مصفوفة طويلة:
دلالة بواسطة لط العناصر أناال الصف و يال ال العمود.
المرحلة الاولى المسار المباشر لغاوس.
استبعد عناصر العمود الأول من المصفوفة أسفل العنصر ل1 1. للقيام بذلك ، أضف السطر 3 إلى السطر 1 مرة −1/6:
استبعد عناصر العمود الثاني من المصفوفة أسفل العنصر ل22. للقيام بذلك ، أضف السطور 3 و 4 بالسطر 2 مرات 8/21 و /71/7 ، على التوالي:
استبعد عناصر العمود الثالث من المصفوفة أسفل العنصرل33. للقيام بذلك ، أضف السطر 4 إلى السطر 3 مرات -1/16:
 |
من المصفوفة الموسعة ، نقوم بإعادة بناء النظام الأخير للمعادلات الخطية:
| (43) |
المعادلة (43) غير متوافقة لأن الأرقام غير موجودة س ، ص ، ض إرضاء المعادلة (43). لذلك ، فإن نظام المعادلات الخطية (42) ليس لديه حل. ثم مباشرة L1 و L2 لا تتقاطع. وهذا هو ، فهي إما موازية أو عبرت.
مباشرة L1 لديه متجه الاتجاه ف1= <2،6،7> ، والخط L2 لديه متجه الاتجاه ف2= <3،1،1>. هذه المتجهات ليست متداخلة. ومن هنا مباشرة L1 و L2 هجن.
