كيفية استخلاص صيغة الطاقة الحركية

Send

من أي تعبير أكثر عمومية تستمد صيغة الطاقة الحركية؟

يمكن استنتاج المعادلة من تعريف العمل على أنه اختلاف الطاقات الحركية A = Ek2-Ek1.

والصيغ: العمل A = F * S (السلطة * الطريق).

ل F = م * أ ال A = m * a * S

علاوة على ذلك ، من تسارع الحركية: a = (V2-V1) / t

S = (V2 + V1) * t / 2، مع حركة تسارع موحدة.

نحن نستبدل هذه الكميات في صيغة العمل: A = m * ((V2-V1) / t) * ((V2 + V1) * t / 2)

نقوم بتقليل التعبير بواسطة t والأقواس بمجموع وفرق السرعات ، ونتحول إلى اختلاف مربعات السرعات:

نوسع الأقواس: A = m * V2 ^ 2/2 - m * V1 ^ 2/2.

وبالتالي ، فإن الفرق في الصيغة الأخيرة يتوافق مع الصيغة الأولى.

نحصل على صيغ للطاقة الحركية في كل نقطة:

Ek2 = m * V2 ^ 2/2

Ek1 = م * V1 ^ 2/2

أولاً ، تستمد صيغة الطاقة المحتملة ، وتستمد صيغة الطاقة الحركية منها بالفعل. استقبل إسحاق نيوتن صيغة الطاقة الكامنة في كتابه الشهير "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية". كان السبب تقريبا على النحو التالي.

دع بعض الأشياء تستلقي على راحة يدي. سأرفع الكف مع الكائن ببطء شديد وبشكل متساو حتى تتم موازنة قوة تفاعل النخلة N بخطورة الكائن P ، وتكون الطاقة الحركية صفرًا تقريبًا بسبب السرعة المنخفضة جدًا. أين يذهب العمل A = INT (P dh) = mgh ، وهو ما أقوم به في هذا الموضوع؟ يتم تحويله إلى طاقة كامنة الكامنة للكائن ، والتي يمكن أن تتحول إلى طاقة حركية واضحة إذا تم السماح للكائن بالسقوط بحرية.

الآن انظر إلى الخطأ الذي ارتكبه نيوتن. إذا كانت هناك عدة قوى F1 و F2 و F3 وما إلى ذلك تعمل فورًا على كائن ما ، ثم لحساب إجمالي الطاقة التي تنتجها جميع القوى معًا ، فأنت بحاجة إلى استبدال القوة الناتجة ، وليس إحدى القوى المعينة ، تحت العلامة المدمجة. ومؤطر نيوتن القوة الخاصة ، وقوة الوزن. نظرًا لأنه في الحالة التي نظر فيها ، تكون القوة الناتجة صفراً (يتم موازنة قوة الوزن بقوة رد فعل النخيل) ، وسيظهر الحساب الصحيح عدم عمل. وإذا كان العمل صفرًا ، فلن تتغير طاقة الكائن. وإذا كان يساوي الصفر عند نقطة بداية الارتفاع ، فسيظل مساوياً للصفر بغض النظر عن ارتفاع الارتفاع. بمعنى آخر ، الطاقة الكامنة غير موجودة في الطبيعة. لكن في الممارسة العملية ، نحن ندرك جيدًا أن رفع أي جسم ثقيل يرافقه إنفاق الطاقة. وبالتالي فإن الاستنتاج حول الصفر العمل هو الخطأ؟ لا ، إنه محق. إنه فقط لن يتم تنفيذ العمل على العنصر الذي يتم رفعه ، ولكن على شيء آخر. ومعادلة mgh لا تصف الطاقة المحتملة لكائن ما ، ولكن طاقة شيء آخر.

ننتقل الآن إلى الطاقة الحركية. في علم الحركة الحركية (علم الحركة المنتظمة وغير المنتظمة) توجد مثل هذه الصيغة V1 V1 - V0 V0 = 2aS للحركة المتسرعة ، حيث V0 هي السرعة الأولية ، V1 هي السرعة النهائية ، هي السرعة ، S هي طول المسار الذي تم السير فيه. إذا كانت سرعة الكائن V0 تساوي صفرًا في اللحظة الأولى من الزمن ، ثم التعبير عن ناتج التسارع بطوله واستبداله في صيغة الطاقة المحتملة ، نحصل على mVV / 2 ، أي صيغة الطاقة الحركية. والآن سوف نتسبب. إذا لم يصف مركب mgh الطاقة المحتملة للكائن ، ولكن شيئًا آخر ، فإن الصيغة mVV / 2 التي تم الحصول عليها منه لن تصف أيضًا الطاقة الحركية للكائن ، ولكن طاقة شيء آخر. وماذا بالضبط - سأحاول شرحه الآن.

عندما نرفع أي شيء ، فإننا لا نتغلب على مقاومة الكائن ، ولكن في مجال الجاذبية. لذلك ، سوف نعمل في مجال الجاذبية ونزيد من طاقتها بقيمة E = mgh. وعندما نلقي كائنًا ، من خلال حركته المتسارعة ، نقوم بتشويه بنية الفراغ المادي المحيط بنا ، ونعمل عليه ونزيد طاقته بمقدار E = mVV / 2. وبالتالي ، فبدلاً من الطاقة الكامنة ، توجد طاقة مجال الجاذبية ، وبدلاً من الطاقة الحركية ، توجد طاقة الفراغ الفيزيائي.

9. القوى المحافظة وغير المحافظة. العلاقة بين السلطة و

الطاقة الكامنة. التدرج من الطاقة الكامنة. الشرط هو

نهج الطاقة العددية في الميكانيكا هو مثمر بشكل خاص في حالة ما يسمى محافظالتفاعلات, حيث لا يعتمد عمل القوات الثابتة على شكل المسار ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال المواضع الأولية والنهائية للجسم.

قوى التفاعل الجاذبي ، قوى المرونة ، ولكن ليس قوى الاحتكاك والمقاومة ، متحفظة. للقوى المحافظة ، يمكن للمرء أن يقدم مثل هذه الطاقة المميزةالطاقة الكامنةوهو وظيفة لا لبس فيها للإحداثيات (الموضع) والتي ، مع الطاقة الحركية - دالة للسرعات ، تشكل إجمالي الطاقة الميكانيكية للجسم (النظام).

على عكس الطاقة الحركية E_إلى = m 2 2 ، وهي وظيفة فريدة من نوعها يتم التعبير عنها بشكل موحد للسرعات ، بمعنى أنها مقياس ديناميكي للحركة ، الطاقة الكامنة E_ن - هو مقياس العددية للتفاعلات المحافظة وليس له تعبير موحد من خلال إحداثيات (موضع) الجسم.

القوى المحافظة - القوى التي لا يعتمد عملها على شكل المسار الذي يتحرك به الجسم ويتم تحديده في نقاط البداية والنهاية للمسار ، عمل هذه القوى في حلقة مغلقة = 0

قوات تبدد - القوى التي يعتمد عملها على شكل المسار الذي يتحرك به الجسم.

التفاعل في نتيجة القط بين الأجسام يؤدي إلى عرق القوة ، والذي يتم عن طريق حقل عرق القوة.

العلاقة بين الطاقة والطاقة المحتملة. التدرج من الطاقة الكامنة.

على الجسم ، يتم تحديد موضعه في مجال العرق بواسطة ناقل نصف القطر r: F = xi + yj + zk

التدرج - عامل التشغيل الذي يوضح الإجراءات التي يجب تنفيذها مع وظيفة العددية. هو ناقل موجه نحو الزيادة السريعة في وظيفة العددية. ثم يتم تشكيل العلاقة بين F و En على النحو التالي: force = gradEn مأخوذة بعلامة معاكسة => يتم توجيه F نحو التقريب المعاكس.

يمكن تعيين القوات التي تعتمد فقط على الإحداثيات (القوات التي لا تعتمد على الوقت ، ثابتة) ، يمكن استخدامها حقول القوة - مساحات من الفضاء ، في كل نقطة تعمل فيها قوة معينة على الجسم. أمثلة على حقول القوة هي مجال الجاذبية ، ولا سيما مجال الجاذبية ، الحقل الكهربائي ، إلخ.

القوى (والحقول) ، العملA₁₂التي على المسار بين أي نقطتين 1 و 2 لا تعتمد على شكل المسار بينهماتسمى إمكانية، وإذا كانت ثابتة ، فهي تسمىonservativnymi. المحتملة كلها منتظم الحقول (في كل نقطة من هذه الحقول القوة لم تتغير) ، وكذلك الحقول القوى المركزية (يعتمدون فقط على المسافة بين النقاط المتفاعلة ويتم توجيههم على طول الخط المستقيم الذي يربطهم).

نحصل على صيغة العلاقة بين قوة هذه الحقول والطاقة الكامنة. من علاقة العمل بالطاقة الكامنة A₁₂ = Fدص = ه_N1 - ه_N2 أو للعمل المبدئي: =А = Fdص = - dЕ_ن. مع الأخذ في الاعتبار ذلك Fdص = واو_الصورةds ، حيث ds = dص هو المسار الأولي / الإزاحة / و F_ص = Fcos project - إسقاط المتجه F لنقل دصاكتب: F_صds = - dЕ_نحيث - د_ن - هناك انخفاض في الطاقة الكامنة في اتجاه النزوح د. من هنا و_ص= - Е_ن،r ، يؤخذ المشتق الجزئي r في اتجاه معين.

في شكل ناقل ، يمكن كتابة العلاقة التفاضلية الناتجة عن القوة مع الطاقة الكامنة على النحو التالي:

F = -(أناE_ن+x + يE_نيو + كE_نz) = - grad Е_ن = - E_نحيث مشغل ناقل رمزي  (مجموع المتجهات للمشتقات الجزئية الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات المكانية) يسمى عامل التشغيل Nabl أو ميل وظيفة العددية (في هذه الحالة ، الطاقة الكامنة).

لذلك القوة F = - الصف E_ن = - E_ن في الحقل المحتمل ، يوجد تدرج / تدرج مع علامة ناقص / طاقة محتملة ، أو خلاف ذلك - المشتق المكاني ، سرعة انخفاض الطاقة المحتملة في الفضاء في اتجاه معين.

يمكن توضيح معنى التدرج عن طريق إدخال مفهوم eالسطح المحتمل - في جميع النقاط التي الطاقة الكامنة E_نله نفس المعنى ، أي. E_ن=CONST.

من الصيغة F = - E_ن يتبع ذلك إسقاط المتجه F إلى اتجاه الظل إلى سطح متساوي الجهد في أي نقطة تساوي الصفر. هذا يعني أن المتجه F عادي إلى سطح متساوي الجهد E_ن = const.

إذا ، علاوة على ذلك ، خذ الدكتور د_نثم د_ن 0 ، أي ناقل F موجهة لأسفل E_ن. التدرج من E_ن هناك متجه موجه بشكل طبيعي إلى السطح متساوي الجهد في اتجاه أسرع زيادة في وظيفة العددية / - الطاقة الكامنة /.

بمثال حقل الجاذبية ، تتناسب قوته مباشرة مع كتلة الجسم ، أي F = m₁م₂2r 2 ، يمكننا أن نفترض أن كل من الهيئات المتفاعلة تقع في مجال قوة الآخر: F = mМr 2 = gm ، حيث g = Fm = Мr 2 هي شدة مجال الجاذبية / محددة القوة - تحسب لكل وحدة كتلة / تم إنشاؤها بواسطة جسم الكتلة M.

من علاقة القوة مع الطاقة الكامنة يلي:

أو  زdص = ₁ - ₂ حيث  = E_ن/ م هي إمكانات مجال الجاذبية ، وهي الطاقة المحددة / لكل وحدة / الطاقة المحتملة.

أو ز = - grad  = -  هي صيغة العلاقة بين التوتر وإمكانات مجال الجاذبية ، والتوتر هو مضاد للتأثير المحتمل.

دع الجسيم يتحرك في مجال محتمل أحادي البعد والذي يكون ملفه الشخصي ، أي التبعية E_ن (x) معروض في الشكل كـ منحنى محتمل.

من قانون الحفاظ على الطاقة الميكانيكية: E = E_إلى + ه_ن = m 2 2 + E_ن/ x / = const يتبع ذلك في المنطقة حيث E_ن > E الجسيمات لا يمكن الحصول عليها. وبالتالي ، إذا كانت الطاقة الكلية E للجسيم تساوي E₁ / انظر الشكل / ، ثم يمكن أن يتحرك الجسيم في المنطقة  بين إحداثيات س₁ و x₂ (تتذبذب في هذه المنطقة ، تسمى البئر المحتملة) ، أو في المنطقة to ، إلى يمين إحداثي x₃. ولكن لا يمكن أن ينتقل الجسيم من المنطقة I إلى المنطقة II أو العكس ، ذلك أن هناك حاجزًا محتملًا للارتفاع E يمنع هذا_ب  ه₁فصل هذه المناطق.

الجسيمات مع الطاقة E₂ارتفاع أكبر من الحاجز المحتمل (E₂  ه_ب) ، يمكن أن تتحرك في المنطقة بأكملها إلى يمين س_حول. ستزداد طاقتها الحركية (في المنطقة x_حول إلى x ) ، ثم أسقط (في المنطقة من x  إلى x ) ثم ارفع مرة أخرى في المنطقة x  x .

عند النقطة x ، يوجد توازن مستقر ، هنا E_ن = ه_{ن دقيقة} و F_س = درجة_س E_ن = - Е_ن0 = 0. عندما يتم إزاحة جسد ما بواسطة dx  0 ، dЕ_ن  0 والقوة تعمل على الجسم

F_س = - Е_نx  0 ، وهي ذات طبيعة تعيد الجسم إلى وضع التوازن.

عند النقطة x هناك توازن غير مستقر ،

هنا E_ن = ه_{كحد أقصى} و F = - الصف E_ن = - Е_ن0 = 0. عندما يتم إزاحة جسد ما بواسطة dx  0 ، dЕ_ن  0 ، والقوة F تعمل على الجسم_س = - Е_ن  0 ، التي لها شخصية تنحرف الجسم عن موضع التوازن.