بيان المشكلة: تبلغ مساحة سطح المكعب S. ابحث عن حجمه.
المهمة هي جزء من الامتحان في الرياضيات الأساسية للصف 11 تحت رقم 13 (مشاكل في القياس الجزيئي).
فكر في كيفية حل هذه المشكلات بالقدوة واستخلاص حل عام.
مساحة سطح المكعب هي 24. ابحث عن حجمه.
مساحة السطح المكعب تساوي مجموع المناطق من جميع وجوهها. مكعب له 6 وجوه متطابقة. إذا أخذنا جانبًا واحدًا لـ ، فإن مساحة سطح المكعب سوف تساوي:
نجد من المساواة التي تم الحصول عليها جانب المكعب:
يبقى للعثور على حجم المكعب. للقيام بذلك ، تحتاج إلى رفع الجانب إلى مكعب:
بعبارات عامة ، فإن حل هذه المشكلة في القياس الفراغي هو كما يلي:
a = √ S / 6 - جانب المكعب
V = a 3 = (√ S / 6) 3
حيث S هي مساحة سطح المكعب.
يبقى فقط استبدال القيم المحددة وحساب النتيجة.
شارك المقال مع زملاء الدراسة "بالنظر إلى مساحة سطح المكعب ، ابحث عن حجمه - كيفية حله».
هل هناك حل آخر؟
اقترح طريقة أخرى لحل المشكلة. "بالنظر إلى مساحة سطح المكعب ، ابحث عن حجمه". ربما سيكون أكثر قابلية للفهم لشخص ما:
ما هي المنطقة؟
عادةً ما يتم الإشارة إلى هذه القيمة بالحرف اللاتيني S. علاوة على ذلك ، هذا صحيح بالنسبة للمواد الدراسية ، مثل الفيزياء والرياضيات. يقاس بوحدات مربعة الطول. كل هذا يتوقف على البيانات في مشكلة الكمية. يمكن أن تكون مم ، سم ، م أو كم مربع. علاوة على ذلك ، قد تكون هناك حالات عندما لا تتم الإشارة إلى الوحدات. نحن نتحدث ببساطة عن التعبير العددي للمنطقة دون اسم.
إذن ما هي المنطقة؟ هذه هي القيمة العددية للشخصية أو الشكل المعني. إنها توضح حجم سطحها ، والذي يقتصر على جوانب الشكل.
ما الشكل يسمى المكعب؟
هذا الرقم هو متعدد الوجوه. وليس سهلا. إنه محق ، أي أن جميع العناصر متساوية مع بعضها البعض. سواء كان ذلك الجانبين أو الوجوه. كل سطح مكعب مربع.
اسم آخر للمكعب هو السداسي العادي ، إذا كان باللغة الروسية ، ثم السداسي. يمكن أن تتشكل من منشور رباعي الزوايا أو موازي. تحت شرط أن تكون جميع الحواف متساوية وتشكل الزوايا 90 درجة.
هذا الرقم متناغم لدرجة أنه يستخدم غالبًا في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، أول ألعاب أطفال عبارة عن مكعبات. ومتعة للمسنين هي مكعب روبيك.
كيف يرتبط المكعب بالشخصيات والهيئات الأخرى؟
إذا رسمنا مقطعًا من مكعب يمر عبر وجوهه الثلاثة ، فسيبدو مثلثًا. كلما ابتعدت عن الجزء العلوي ، سيكون القسم أكبر. سيأتي وقت تتقاطع فيه 4 وجوه بالفعل ، وسيصبح الشكل الموجود في المقطع العرضي رباعي الزوايا. إذا قمت برسم قسم من خلال وسط المكعب بحيث يكون عموديًا على الأقطار الرئيسية ، فستحصل على مسدس منتظم.
داخل المكعب ، يمكنك رسم رباعي الاسطح (الهرم الثلاثي). تؤخذ واحدة من زواياها في الجزء العلوي من رباعي الاسطح. ستتزامن الثلاثة الباقية مع القمم الموجودة عند الأطراف المقابلة للحواف في الزاوية المحددة من المكعب.
يمكن إدخال أوكتاهيدرون (متعدد السطوح منتظم محدب يشبه الأهرامات المتصلة) فيه. للقيام بذلك ، ابحث عن مراكز جميع وجوه المكعب. سوف تكون رؤوس المثمن.
العملية العكسية ممكنة أيضًا ، أي أنه من الممكن بالفعل إدخال مكعب داخل المثمن. الآن فقط ستصبح مراكز الوجوه الأولى هي قمم الثانية.
الطريقة الأولى: حساب مساحة المكعب بالحافة
من أجل حساب مساحة سطح المكعب بالكامل ، يلزم معرفة أحد عناصرها. أسهل طريقة للحل عندما تكون الحافة معروفة أو بمعنى آخر جانب المربع الذي تتكون منه. عادةً ما يتم الإشارة إلى هذه القيمة بالحرف اللاتيني "a".
الآن نحن بحاجة إلى التذكير بالصيغة التي يتم بها حساب المربع. من أجل عدم الخلط ، يتم تقديم التسمية بواسطة الحرف S1.
للراحة ، من الأفضل تعيين أرقام لجميع الصيغ. هذا سيكون الأول.
ولكن هذه هي مساحة مربع واحد فقط. هناك ستة منهم: 4 على الجانبين و 2 أسفل وأعلى. ثم يتم حساب مساحة سطح المكعب بالصيغة التالية: S = 6 * a 2. رقمها 2.
الطريقة 2: كيفية حساب المساحة إذا كان حجم الجسم معروفًا
تتلخص هذه الطريقة في حساب طول الضلع على حجم معروف. ثم استخدم الصيغة المعروفة ، والتي يشار إليها بالرقم 2 هنا.
من التعبير الرياضي لحجم السداسي ، يتم استنتاج واحد يمكن من خلالها حساب طول الضلع. ومن هنا:
يستمر الترقيم ، والرقم 3 موجود بالفعل هنا.
الآن يمكن حسابها واستبدالها في الصيغة الثانية. إذا تصرفنا وفقًا لمعايير الرياضيات ، فسنحتاج إلى اشتقاق التعبير التالي:
هذه هي الصيغة الخاصة بمساحة سطح المكعب بالكامل ، والتي يمكن استخدامها في حالة معرفة مستوى الصوت. رقم هذا الإدخال هو 4.
الطريقة الثالثة: حساب المنطقة على طول قطري مكعب
من أجل حساب مساحة السطح الكامل للمكعب ، من الضروري أيضًا رسم حافة من خلال القطر المعروف. نحن هنا نستخدم صيغة قطري السداسي الرئيسي:
من السهل اشتقاق تعبير لحافة المكعب منه:
هذه هي الصيغة السادسة. بعد حسابها ، يمكنك استخدام الصيغة مرة أخرى تحت الرقم الثاني. لكن من الأفضل أن تكتب هذا:
لقد أصبح الرقم 7. إذا نظرت بعناية ، ستلاحظ أن الصيغة الأخيرة أكثر ملاءمة من عملية حسابية على مراحل.
الطريقة الرابعة: كيفية استخدام نصف قطر الدائرة المنقوشة أو الدائرية لحساب مساحة المكعب
إذا قمنا بالإشارة إلى نصف قطر الدائرة الموصوفة بالقرب من سداسية الشكل بالحرف R ، فسيتم حساب مساحة سطح المكعب بسهولة بالصيغة التالية:
رقمه التسلسلي هو 8. يمكن الحصول عليه بسهولة بسبب حقيقة أن قطر الدائرة يتزامن تمامًا مع القطر الرئيسي.
في إشارة إلى نصف قطر الدائرة المنقوشة بالحرف اللاتيني r ، يمكننا الحصول على الصيغة التالية لمنطقة سطح سداسي بالكامل:
بضع كلمات عن السطح الجانبي للسداسي
إذا كانت المشكلة تتطلب إيجاد مساحة السطح الجانبي للمكعب ، فأنت بحاجة إلى استخدام التقنية الموضحة أعلاه بالفعل. عندما يتم إعطاء حافة الجسم بالفعل ، يجب ببساطة مضاعفة المساحة المربعة بـ 4. ظهر هذا الرقم نظرًا لحقيقة أن المكعب لا يحتوي إلا على 4 أوجه جانبية ، والترميز الرياضي لهذا التعبير هو كما يلي:
رقمه هو 10. إذا تم إعطاء أي كميات أخرى ، فسيتم متابعتها بالطريقة الموضحة أعلاه.
أمثلة من المهام
شرط واحد. مساحة سطح المكعب معروفة. تبلغ مساحتها 200 سم 2. من الضروري حساب القطر الرئيسي للمكعب.
1 الطريق. تحتاج إلى استخدام الصيغة ، التي يشار إليها بالرقم 2. من ذلك ، سيكون من السهل استنتاج "a". سيبدو هذا التدوين الرياضي كجذر التربيعي للقسمة ، يساوي S في 6. بعد استبدال الأرقام ، اتضح:
a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).
تسمح لك الصيغة الخامسة بحساب القطر الرئيسي للمكعب على الفور. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب قيمة الحافة بمقدار √3. انها بسيطة. الجواب تبين أن القطر 10 سم.
2 الطريق. في حال نسيتم صيغة القطر ، إلا أنني أتذكر نظرية فيثاغورس.
على غرار ما كان في الطريقة الأولى ، ابحث عن الحافة. ثم نحتاج إلى كتابة النظرية الخاصة بالنقص السفلي مرتين: الأولى للمثلث على الوجه ، والثانية للنظرية التي تحتوي على القطر المطلوب.
x² = a² + a² ، حيث x هو قطري للمربع.
d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². من هذا المدخل ، من السهل معرفة كيفية الحصول على صيغة القطر. وبعد ذلك ستكون جميع الحسابات ، كما في الطريقة الأولى. إنها فترة أطول قليلاً ، ولكنها تتيح لك عدم حفظ الصيغة ، ولكن الحصول عليها بنفسك.
الجواب: قطر المكعب 10 سم.
الشرط الثاني. من مساحة السطح المعروفة ، والتي تساوي 54 سم 2 ، احسب حجم المكعب.
باستخدام الصيغة تحت الرقم الثاني ، تحتاج إلى معرفة قيمة حافة المكعب. يتم شرح كيفية القيام بذلك بالتفصيل في الطريقة الأولى لحل المشكلة السابقة. بعد كل الحسابات ، نحصل على = 3 سم.
أنت الآن بحاجة إلى استخدام الصيغة لحجم المكعب ، حيث يتم رفع طول الضلع إلى الدرجة الثالثة. لذلك ، سيتم النظر في الحجم على النحو التالي: V = 3 3 = 27 سم 3.
الجواب: حجم المكعب 27 سم 3.
الشرط الثالث. مطلوب للعثور على حافة المكعب الذي تم استيفاء الشرط التالي. عندما يزداد الضلع بمقدار 9 وحدات ، تزداد مساحة السطح بالكامل بمقدار 594.
نظرًا لعدم وجود أرقام صريحة في المشكلة ، فقط الفرق بين ما حدث وما أصبح ، نحتاج إلى تقديم رمز إضافي. انها ليست صعبة. دع القيمة المطلوبة تساوي "a". عندئذ تكون الحافة المكبرة للمكعب مساوية لـ (a + 9).
مع العلم بذلك ، تحتاج إلى كتابة الصيغة الخاصة بمساحة سطح المكعب مرتين. الأول - بالنسبة إلى القيمة الأولية للحافة - سيتزامن مع الرقم المرقّم بالرقم 2. والثاني سيكون مختلفًا قليلاً. في ذلك ، بدلاً من "a" ، تحتاج إلى كتابة المبلغ (a + 9). نظرًا لأن المشكلة تدور حول الاختلاف في المساحة ، فأنت بحاجة إلى طرح أصغر من المنطقة الأكبر:
6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.
تحتاج إلى تنفيذ التحول. أولاً ، القوس 6 على الجانب الأيسر من المساواة ، ثم قم بتبسيط ما تبقى بين قوسين. وهي (أ + 9) 2 - أ 2. هنا يتم كتابة اختلاف المربعات ، والذي يمكن تحويله على النحو التالي: (a + 9 - a) (a + 9 + a). بعد تبسيط التعبير ، نحصل على 9 (2a + 9).
أنت الآن بحاجة إلى ضربها في 6 ، أي الرقم الذي كان أمام الحامل ، ويساوي 594: 54 (2a + 9) = 594. هذه معادلة خطية مع واحدة غير معروفة. من السهل حلها. تحتاج أولاً إلى فتح الأقواس ، ثم نقل المصطلح بقيمة غير معروفة إلى الجانب الأيسر من المساواة ، والأرقام إلى الجانب الأيمن. سيتم الحصول على المعادلة التالية: 2a = 2. يمكن أن نرى من خلالها أن القيمة المطلوبة هي 1.
